原函数:

\[ f \left( x \right) = x + \mathrm{sin} \left( \pi x \right) - 3 \]

原式:

\[ W = \sum_{i=1}^{4029} f \left( \frac{i}{2015} \right) \]

函数代入原式中:

\[ W = \sum_{i=1}^{4029} \left[ \frac{i}{2015} + \mathrm{sin} \left( \frac{i \pi}{2015} \right) - 3 \right] \]

把函数中的3项分别归类放置:

\[ W = \sum_{i=1}^{4029} \left( \frac{i}{2015} \right) + \sum_{i=1}^{4029} \left[ \mathrm{sin} \left( \frac{i \pi}{2015} \right) \right] - \sum_{i=1}^{4029} 3 \]

第一个求和项,等差数列求和公式,(首项+末项)*项数/2,第2个求和项,拆分成3个部分,前面1~2014,中间2015,后面2016~4029:

\[ W = \left( \frac{1}{2015} + \frac{4029}{2015} \right) \times 4029 \div 2 + \sum_{i=1}^{2014} \left[ \mathrm{sin} \left( \frac{i \pi}{2015} \right) \right] + \mathrm{sin} \left( \pi \right) + \sum_{i=2016}^{4029} \left[ \mathrm{sin} \left( \frac{i \pi}{2015} \right) \right] - 3 \times 4029 \]

第一个求和项解出,第三个求和项解出,中间求和项中,sin(pi)=0,而后面的2016~4029,可以简化和前面的1~2014类似的式子:

\[ W = 4029 + \sum_{i=1}^{2014} \left[ \mathrm{sin} \left( \frac{i \pi}{2015} \right) \right] + \mathrm{sin} \pi + \sum_{i=1}^{2014} \left[ \mathrm{sin} \left( 2 \pi - \frac{i \pi}{2015} \right) \right] - 12087 \]

其中 \( \mathrm{sin} \pi = 0, \mathrm{sin} \left( 2 \pi n + x \right) = \mathrm{sin} x, \mathrm{sin} -x = -\mathrm{sin} x\)

最后:

\[ W = 4029 + \sum_{i=1}^{2014} \left[ \mathrm{sin} \left( \frac{i \pi}{2015} \right) \right] - \sum_{i=1}^{2014} \left[ \mathrm{sin} \left( \frac{i \pi}{2015} \right) \right] - 12087 = 4029 - 12087 = -8058 \]

题目本质:
1.等差数列求和公式;
2.抓出1/2015 + 4029/2015 = 2的特征,其实sin一项的计算过程类似于等差数列,前后抵消。

一道小题

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